On the Topology of the Cambrian

For an arbitrary Coxeter group W , David Speyer and Nathan Reading defined Cambrian semilattices Cγ as certain sub-semilattices of the weak order on W . In this article, we define an edge-labeling using the realization of Cambrian semilattices in terms of γ-sortable elements, and show that this is an EL-labeling for every closed interval of Cγ . In addition, we use our labeling to show that every finite open interval in a Cambrian semilattice is either contractible or spherical, and we characterize the spherical intervals, generalizing a result by Nathan Reading. Résumé. Pour tout groupe de Coxeter W , David Speyer et Nathan Reading ont défini les demi-treillis Cambriens comme certains sous-demi-treillis de l’ordre faible sur W . Dans cet article, nous définissons un étiquetage des arêtes basé sur la réalisation des demi-treillis Cambriens en termes d’éléments γ-triables, et prouvons que c’est un étiquetage EL pour tout intervalle fermé de Cγ . Nous utilisons de plus cet étiquetage pour montrer que tout intervalle ouvert fini dans un demi-treillis Cambrien est soit contractible soit sphérique, et nous caractérisons les intervalles sphériques, généralisant ainsi un résultat de Nathan Reading.